Định nghĩa không gian tô pô liên thông

Không gian tôpô X được gọi là không liên thông nếu nó là hội của hai Tập mở rời nhau khác rỗng. Ngược lại là liên thông.

Nói cách khác một không gian tôpô gọi là không gian tô pô liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau, hoặc không chứa một tập con thực sự vừa là Tập đóng vừa là Tập mở.

• Định lý: không gian X là liên thông nếu chỉ nếu chỉ nó không có tập con nào vừa đóng vừa mở trong X.
• Hệ quả: Trong mọi không gian topo X, tập X và tập rỗng là 2 tập duy nhất vừa đóng vừa mở trong X.

1. Trong R {\displaystyle \mathbb {R} } với topo giới hạn dưới, khoảng [ a , b ) {\displaystyle \left[a,b\right)} là vừa đóng vừa mở. Do đó R {\displaystyle \mathbb {R} } không liên thông trong topo này.
2. Hội của [0, 1) và (1, 2] là không liên thông vì 1 không thuộc hội của hai tập này; cả hai khoảng đó là mở trong không gian topo chuẩn [0, 1) ∪ (1, 2].
3. (0, 1) ∪ {x} là không liên thông nếu x không thuộc (0, 1).
4. Tập lồi là liên thông.
5. R {\displaystyle \mathbb {R} } là tập liên thông.

• Định lý: X , Y {\displaystyle X,Y} là hai không gian topo, f : X ⟶ Y {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} là Ánh xạ liên tục, thì f ( X ) {\displaystyle f(X)} là liên thông trong Y {\displaystyle Y} .
• Bổ đề: C , D {\displaystyle C,D} là hai tập con của không gian topo X {\displaystyle X} . Giả sử C {\displaystyle C} là liên thông và C ⊂ D {\displaystyle C\subset D} . Hơn nữa giả sử rằng U , V {\displaystyle U,V} là tách của D {\displaystyle D} trong X {\displaystyle X} . Thì có C ⊂ D {\displaystyle C\subset D} hoặc C ⊂ V {\displaystyle C\subset V}
• Định lý: Nếu A α {\displaystyle A_{\alpha }} là họ tập con khác rỗng liên thông của không gian topo X {\displaystyle X} sao cho ⋂ α ∈ I A {\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}A} là khác rỗng, thì ⋃ α ∈ I A {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}A} cũng liên thông.
• Định lý: Bao đóng của tập con liên thông là liên thông:
• Định lý: Cho X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} là họ các không gian liên thông. Thì không gian tích X 1 × . . . × X n {\displaystyle X_{1}\times ...\times X_{n}} là liên thông.
• Mệnh đề: Một tập con của không gian topo được gọi là liên thông nếu nó liên thông dưới một không gian topo con của nó.

Thành phần liên thông

Những tập con liên thông lớn nhất của không gian topo khác rỗng được gọi là thành phần liên thông của không gian đó.

Hai điểm x, y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông. Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X. Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau, mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X. Ký hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x).

• Định lý: Thành phần liên thông thì liên thông.
• Định lý: Mỗi thành phần liên thông của X là tập con đóng của X.
• Định lý: Nếu hai không gian là đồng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các thành phần liên thông của hai không gian đó.
• Định lý: Cho f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} là Phép đồng phôi. Nếu C là thành phần liên thông của X thì f(C) là thành phần liên thông của Y.

1. R^k chỉ có 1 thành phần liên thông là chính nó. Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông.
2. X = ( − 1 , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) {\displaystyle X=(-1,1)\cup (2,3)} có hai thành phần liên thông.
3. Đường thẳng thực bỏ đi một điểm có hai thành phần liên thông.